Class 10th Maths Chapter 1 – Real Numbers (प्रश्नावली 1.1) | Euclid’s Division Algorithm & HCF Explained

कक्षा 10 की गणित का पहला अध्याय "वास्तविक संख्याएँ" छात्रों के लिए नींव मजबूत करने वाला अध्याय है। इसमें Euclid's Division Lemma और HCF निकालने के नियमों को समझाया गया है। इस ब्लॉग पोस्ट में हम प्रश्नावली 1.1 के सभी प्रश्नों को हल सहित समझेंगे।

Chapter Name: वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)

📗 Exercise: प्रश्नावली 1.1

📙 Topics Covered:

• Euclid’s Division Algorithm

• HCF निकालने की विधि

• पूर्णांकों की विशेषता (Squares & Cubes)

• Column arrangement problems

प्रश्न 1: निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए:

i) 135 और 225

225 = 135 × 1 + 90

135 = 90 × 1 + 45

90 = 45 × 2 + 0

⇒ HCF = 45

ii) 196 और 38220

38220 = 196 × 195 + 0

⇒ HCF = 196

iii) 867 और 255

867 = 255 × 3 + 102

255 = 102 × 2 + 51

102 = 51 × 2 + 0

⇒ HCF = 51

प्रश्न 2: दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1, 6q + 3 या 6q + 5 के रूप का होता है,

कोई भी पूर्णांक को 6 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3, 4, या 5 आता है।

⇒ संख्या = 6q, 6q+1, 6q+2, 6q+3, 6q+4, 6q+5

इनमें विषम संख्याएँ होंगी: 6q+1, 6q+3, और 6q+5

इसलिए, कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q+1, 6q+3 या 6q+5 के रूप का होता है।

प्रश्न 3: सेना की दो टुकड़ियों को समान स्तंभों में मार्च करना है। अधिकतम स्तंभों की संख्या ज्ञात कीजिए।

संख्या: 616 और 32

616 = 32 × 19 + 8

32 = 8 × 4 + 0

⇒ HCF = 8

इसलिए, अधिकतम स्तंभों की संख्या = 8

प्रश्न 4: यूक्लिड प्रमेय का प्रयोग करके दिखाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 3m या 3m+1 के रूप में होता है।

कोई भी पूर्णांक x को हम 3q, 3q+1 या 3q+2 के रूप में लिख सकते हैं।

अब हम इनका वर्ग निकालते हैं:

यदि x = 3q ⇒ x² = 9q² = 3(3q²) ⇒ 3m रूप में

यदि x = 3q+1 ⇒ x² = (3q+1)² = 9q² + 6q + 1 = 3(3q² + 2q) + 1 ⇒ 3m + 1 रूप में

यदि x = 3q+2 ⇒ x² = (3q+2)² = 9q² + 12q + 4 = 3(3q² + 4q + 1) + 1 ⇒ 3m + 1 रूप में

⇒ इसलिए, किसी भी पूर्णांक का वर्ग 3m या 3m+1 के रूप में होता है।

प्रश्न 5: यूक्लिड प्रमेय का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m+1 या 9m+8 के रूप का होता है।

किसी भी पूर्णांक x को 3q, 3q+1, या 3q+2 के रूप में लिखा जा सकता है।

अब घन निकालते हैं:

x = 3q ⇒ x³ = 27q³ = 9(3q³) ⇒ 9m रूप में

x = 3q+1 ⇒ x³ = (3q+1)³ = 27q³ + 27q² + 9q + 1 = 9(3q³ + 3q² + q) + 1 ⇒ 9m + 1

x = 3q+2 ⇒ x³ = (3q+2)³ = 27q³ + 54q² + 36q + 8 = 9(3q³ + 6q² + 4q) + 8 ⇒ 9m + 8

⇒ इसलिए, किसी भी पूर्णांक का घन 9m, 9m+1 या 9m+8 के रूप में होता है।

निष्कर्ष (Conclusion)

इस ब्लॉग पोस्ट के माध्यम से आपने प्रश्नावली 1.1 के हर सवाल को हल सहित समझा। यदि आपने अब तक हमारा YouTube चैनल Subscribe नहीं किया है, तो अभी करें और विद्यार्थियों तक ज्ञान की यह ज्योति पहुँचाएँ।

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