कक्षा 10 गणित - अध्याय 1: वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) - सम्पूर्ण नोट्स (PDF Notes)

वास्तविक संख्याएँ उन सभी संख्याओं का समूह होती हैं जिन्हें हम रेखा पर दर्शा सकते हैं। इसमें सभी प्राकृत संख्याएँ, पूर्णांक, परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ शामिल होती हैं।

✅ वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers):

वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) में निम्नलिखित प्रकार की संख्याएँ आती हैं:

1.       प्राकृतिक संख्याएँ (Natural Numbers):

o   जो संख्याएँ 1, 2, 3, 4,… होती हैं।

o   उदाहरण: 1, 2, 3

2.       पूर्णांक (Whole Numbers):

o   प्राकृतिक संख्याएँ + 0

o   उदाहरण: 0, 1, 2, 3

3.       पूर्णांक संख्याएँ (Integers):

o   सभी धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएँ + 0

o   उदाहरण: -3, -2, -1, 0, 1, 2

4.       परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers):

o   वे संख्याएँ जिन्हें ‘p/q’ के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ q ≠ 0 हो।

o   उदाहरण: 2/3, -5/7, 4 (क्योंकि 4 = 4/1)

5.       अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers):

o   जो संख्याएँ ‘p/q’ के रूप में नहीं लिखी जा सकतीं और जिनका दशमलव विस्तार अनंत और आवर्ती नहीं होता।

o   उदाहरण: √2, π (पाई)

✳ सम संख्याएँ (Even Numbers):

·       वे संख्याएँ जो 2 से पूरी तरह विभाजित होती हैं।

·       उदाहरण: 2, 4, 6, 8, 10

✳ विषम संख्याएँ (Odd Numbers):

·       वे संख्याएँ जो 2 से विभाजित नहीं होतीं।

·       उदाहरण: 1, 3, 5, 7, 9

⚡️ महत्वपूर्ण अवधारणाएँ (Important Concepts):

1. Euclid’s Division Lemma:

यदि दो धनात्मक पूर्णांक a और b हैं, तो हमेशा दो पूर्णांक q और r होंगे, ऐसे कि:

[ a = bq + r ] जहाँ 0 ≤ r < b

2. Euclid’s Division Algorithm:

·       इसे उपयोग करके हम दो संख्याओं का HCF (महत्तम समापवर्तक) निकाल सकते हैं।

3. Fundamental Theorem of Arithmetic:

·       प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में केवल एक ही तरीके से लिखा जा सकता है।

✏️ उदाहरण (Examples):

Q1. क्या √5 एक अपरिमेय संख्या है? उत्तर: हाँ, क्योंकि √5 का दशमलव विस्तार अनंत और आवर्ती नहीं है। इसे p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता।

Q2. दो संख्याएँ 54 और 24 हैं। Euclid’s Algorithm से इनका HCF निकालिए। उत्तर: - 54 = 24 × 2 + 6 - 24 = 6 × 4 + 0 - HCF = 6

☑️ अध्याय विभाजन (Parts of Chapter):

1.       वास्तविक संख्याओं की पहचान

2.       Euclid’s Division Lemma और Algorithm

3.       Fundamental Theorem of Arithmetic

4.       परिमेय और अपरिमेय संख्याओं की समझ

5.       सम और विषम संख्याओं की पहचान

6.       HCF और LCM निकालना

✨ निष्कर्ष (Conclusion):

यह अध्याय गणित की बुनियादी समझ को मजबूत करता है और प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए भी उपयोगी है। यदि इन संख्याओं की प्रकृति को समझ लिया जाए तो अंकगणित आसान हो जाता है।

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